Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas (quando existirem) das seguintes retas:
d) A reta paralela ao eixo z que passa pelo ponto (1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a reta em R^3 que é paralela ao eixo z e que passa pelo ponto (1,2,1). O conteúdo é geometria analítica em três dimensões: precisamos do vetor diretor da reta e depois montar as equações paramétrica e, se possível, a simétrica.

Passo 2

Uma reta paralela ao eixo z tem direção ao longo do eixo z, ou seja, seu vetor diretor é
v = (0,0,1)
Isso significa que, ao percorrer a reta, somente a coordenada z varia.

Passo 3

As equações paramétricas de uma reta em
Substituindo , obtemos

Passo 4

A forma simétrica da reta é
x - x0vx ;=;y - y0vy;=;z - z0vz
Aqui teríamos
x-10 = y-20 = z-11
Como não faz sentido dividir por zero, não existe uma forma simétrica completa envolvendo todas as coordenadas. Podemos apenas notar que
x = 1, y = 2, z-1 = t,
o que já está capturado pela forma paramétrica.

Resposta

Equação paramétrica:
x = 1, y = 2, z = 1 + t
Não existe forma simétrica convencional devido aos denominadores nulos em x e y.

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