Seja a transformação linear T: R^3 R^4 :
T(x, y, z)=(x+z, y+2 z, x-y-z,-x+2 y+3 z)
A transformação T é injetora? É sobrejetora? Justifique sua resposta ( 0,6 ponto).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
TcolonR^3toR^4, T(x,y,z)=(x+z,;y+2z,;x-y-z,;-x+2y+3z),
e pede para decidir se T é injetora e se é sobrejetora. Vamos usar teoria de núcleo (para injetividade) e posto/imagem (para sobrejetividade).

Passo 2

Representamos T pela matriz A de tamanho 4times3 em relação às bases canônicas:
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & -1 & -1 -1 & 2 & 3 ,
de modo que T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T. Sabemos que T é injetora se, e somente se, ker T=0, e é sobrejetora se, e somente se, dimIm T=4.

Passo 3

Para achar resolvemos , isto é
Das duas primeiras equações vem
Substituindo em e em confirma-se que ambas se anulam identicamente. Logo
que não é apenas . Portanto não é injetora.

Passo 4

Para o posto, note que as colunas de são
Percebe-se a relação
logo as três colunas são linearmente dependentes, e duas delas são independentes. Assim . Como , a imagem não ocupa todo , e não é sobrejetora.

Resposta

A transformação T não é injetora (seu núcleo é de dimensão 1) e não é sobrejetora (seu posto é 2, menor que 4).

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