Seja a transformação linear
:
A transformação
é injetora? É sobrejetora? Justifique sua resposta ( 0,6 ponto).
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
e pede para decidir se
é injetora e se é sobrejetora. Vamos usar teoria de núcleo (para injetividade) e posto/imagem (para sobrejetividade).
Passo 2
Representamos
pela matriz
de tamanho
em relação às bases canônicas:
de modo que
T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T . Sabemos que
T é injetora se, e somente se,
ker T=0 , e é sobrejetora se, e somente se,
dimIm T=4 .
Passo 3
Para achar
resolvemos
, isto é
Das duas primeiras equações vem
Substituindo em
e em
confirma-se que ambas se anulam identicamente. Logo
que não é apenas
. Portanto
não é injetora.
Passo 4
Para o posto, note que as colunas de
são
Percebe-se a relação
logo as três colunas são linearmente dependentes, e duas delas são independentes. Assim . Como
, a imagem não ocupa todo
, e
não é sobrejetora.
Resposta
A transformação
T não é injetora (seu núcleo é de dimensão 1) e não é sobrejetora (seu posto é 2, menor que 4).