Determine explicitamente o Núcleo de , uma base e sua dimensão ( 1,2 pontos);
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede o núcleo de , sua base e a dimensão. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores tais que , ou seja, resolveremos o sistema homogêneo associado.
Passo 2
Escrevendo obtemos o sistema
Esse sistema impõe quatro equações lineares em três incógnitas.
Passo 3
Das duas primeiras equações já isolamos
x = -z, y = -2z
Substituindo em x - y - z = 0 temos
(-z) - (-2z) - z = -z + 2z - z = 0,
e em -x + 2y + 3z = 0 temos
-(-z) + 2(-2z) + 3z = z - 4z + 3z = 0
Portanto, as duas últimas equações são redundantes.
Passo 4
Como é livre, escrevemos . Assim
e todo vetor do núcleo é
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Passo 5
O núcleo de T é um subespaço unidimensional gerado por (-1,-2,1), portanto sua dimensão é 1.