Seja a transformação linear T: R^3 R^4 :
T(x, y, z)=(x+z, y+2 z, x-y-z,-x+2 y+3 z)
Determine explicitamente o Núcleo de T, uma base e sua dimensão ( 1,2 pontos);

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T:R^3toR^4, T(x,y,z)=(x+z,;y+2z,;x-y-z,;-x+2y+3z),
e pede o núcleo de T, sua base e a dimensão. O núcleo de T é o conjunto de todos os vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=0, ou seja, resolveremos o sistema homogêneo associado.

Passo 2

Escrevendo T(x,y,z)=0 obtemos o sistema
x+z=0, y+2z=0, x-y-z=0, -x+2y+3z=0
Esse sistema impõe quatro equações lineares em três incógnitas.

Passo 3

Das duas primeiras equações já isolamos
x = -z, y = -2z
Substituindo em
x - y - z = 0 temos
(-z) - (-2z) - z = -z + 2z - z = 0,
e em
-x + 2y + 3z = 0 temos
-(-z) + 2(-2z) + 3z = z - 4z + 3z = 0
Portanto, as duas últimas equações são redundantes.

Passo 4

Como é livre, escrevemos . Assim
e todo vetor do núcleo é
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Passo 5

O núcleo de T é um subespaço unidimensional gerado por (-1,-2,1), portanto sua dimensão é 1.

Resposta

O núcleo é
ker T = (x,y,z)inR^3 mid (x,y,z)=t(-1,-2,1),;tinR
Uma base é (-1,-2,1) e dim(ker T)=1.

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