Seja a transformação linear T: R^3 R^4 :
T(x, y, z)=(x+z, y+2 z, x-y-z,-x+2 y+3 z)
Determine explicitamente a Imagem de T, uma base e sua dimensão ( 1,2 pontos);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^4, T(x,y,z)=(x+z,;y+2z,;x-y-z,;-x+2y+3z)
e pede a imagem de T, uma base e a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos usar as imagens dos vetores da base canônica de R^3, verificar independência linear e também obter uma descrição explícita do subespaço em R^4.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores da base canônica:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,1,-1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,-1,2), T(e3)=T(0,0,1)=(1,2,-1,3)

Passo 3

Note que
T(e3)=(1,2,-1,3)=(1,0,1,-1)+2,(0,1,-1,2)=T(e1)+2,T(e2),
ou seja, T(e3) é combinação linear de T(e1) e T(e2). Logo T(e1),T(e2) é um conjunto independente que gera Im(T), e
dim(Im(T))=2

Passo 4

Para achar uma fórmula geral de Im(T), seja (u1,u2,u3,u4)=(x+z,;y+2z,;x-y-z,;-x+2y+3z). Substituindo
;x=u1-z; e ;y=u2-2z; em u3 e u4, obtemos
u3=u1-u2, u4=-u1+2u2
Portanto
Im(T) =(u1,u2,u1-u2,-u1+2u2)mid u1,u2inR

Resposta

Im(T) =(u1,u2,u1-u2,-u1+2u2)mid u1,u2inR
Uma base é
(1,0,1,-1),,(0,1,-1,2),
e
dim(Im(T))=2

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