Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas (quando existirem) das seguintes retas:
A reta que passa pelos pontos A : (1,0,-2) e B:(3,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações de uma reta que passa pelos pontos A(1, 0, -2) e B(3, 1, 1) . Vamos trabalhar com geometria analítica, que é a parte da matemática que estuda as formas geométricas usando coordenadas e equações. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a forma paramétrica e a forma simétrica da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está se movendo e é dado pela diferença entre os pontos B e A .
Calculando:
d = B - A = (3 - 1, 1 - 0, 1 - (-2)) = (2, 1, 3)
Então, nosso vetor diretor é d = (2,,1,,3) .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta. Nessa forma, a reta é descrita através de um ponto por onde ela passa e do vetor diretor. A equação paramétrica fica assim:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor. Vamos usar o ponto A(1, 0, -2) :
x = 1 + 2t y = 0 + 1t z = -2 + 3t
Ou, simplificando:
x = 1 + 2t y = t z = -2 + 3t

Passo 4

Agora, vamos para a equação simétrica da reta. Essa forma é útil para relacionar as coordenadas x , y e z de qualquer ponto na reta sem o parâmetro t . A equação simétrica é dada por:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando novamente o ponto A(1, 0, -2) e o vetor diretor d = (2,,1,,3) , temos:
x - 12 = y - 01 = z + 23
Ou, de forma mais simples:
x - 12 = y = z + 23

Resposta

A reta que passa pelos pontos A(1, 0, -2) e B(3, 1, 1) tem:
  • Equação paramétrica:
x = 1 + 2t y = t z = -2 + 3t
  • Equação simétrica:
x - 12 = y = z + 23

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