Determine as equações na forma paramétrica e na forma simétricas (quando existirem) das seguintes retas:
A reta que passa pelos pontos A : (1,0,-2) e B:(3,1,1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações de uma reta que passa pelos pontos e . Vamos trabalhar com geometria analítica, que é a parte da matemática que estuda as formas geométricas usando coordenadas e equações. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a forma paramétrica e a forma simétrica da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está se movendo e é dado pela diferença entre os pontos e .
Calculando:
Então, nosso vetor diretor é .
Passo 3
Agora, vamos montar a equação paramétrica da reta. Nessa forma, a reta é descrita através de um ponto por onde ela passa e do vetor diretor. A equação paramétrica fica assim:
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor. Vamos usar o ponto A(1, 0, -2) :
x = 1 + 2t y = 0 + 1t z = -2 + 3t
Ou, simplificando:
x = 1 + 2t y = t z = -2 + 3t
Passo 4
Agora, vamos para a equação simétrica da reta. Essa forma é útil para relacionar as coordenadas x , y e z de qualquer ponto na reta sem o parâmetro t . A equação simétrica é dada por:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Usando novamente o ponto A(1, 0, -2) e o vetor diretor d = (2,,1,,3) , temos:
x - 12 = y - 01 = z + 23
Ou, de forma mais simples:
x - 12 = y = z + 23
Resposta
A reta que passa pelos pontos A(1, 0, -2) e B(3, 1, 1) tem: