Seja L: R^2 R^2 uma transformação linear tal que L(1,1)=(1,-2) ; L(-1,1)=(2,3).
a)Qual é o valor de L(-1,5) ?
b) Qual é o valor de L(x, y) ?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
L:R^2toR^2
sujeita a
L(1,1)=(1,-2), L(-1,1)=(2,3),
e pede (a) o valor de L(-1,5) e (b) a fórmula geral de L(x,y). Para isso, vamos usar a ideia de base: (1,1) e (-1,1) formam uma base de R^2, então qualquer (x,y) pode ser escrito como combinação linear desses vetores.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico como
(x,y)=a,(1,1)+b,(-1,1)
Isso gera o sistema
a - b = x, a + b = y
Resolvendo, obtemos
a = x+y2, b = y-x2

Passo 3

Como L é linear,
L(x,y)=a,L(1,1)+b,L(-1,1) = x+y2(1,-2)+y-x2(2,3)
Calculando componete a componete, achamos
L(x,y)=l(-x+3y2,;-5x+y2r)

Passo 4

Para (x,y)=(-1,5), basta substituir na fórmula:
L(-1,5)=l(-(-1)+3cdot52,;-5(-1)+52r) =l(1+152,;5+52r) =(8,5)

Resposta

a) (8,5)
b) L(x,y)=l(-x+3y2,;-5x+y2r)

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