Determine as equações paramétrica e as equações simétricas para a reta.
A reta de interseção dos planos x+2 y+3 z=1 e x-y+z=1. Dica: Neste exercício resolva o sistema formado pelas equações dos planos. O sistema será possível e determinado, logo sua solução será a equação da reta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações paramétrica e simétrica da reta que é interseção dos planos
x+2y+3z=1
e
x-y+z=1
O conteúdo é geometria analítica no espaço: a interseção de dois planos forma uma reta. Vamos resolver o sistema das duas equações, deixando uma variável livre para obter a parametrização.

Passo 2

Escolhemos z=t como parâmetro livre. Substituindo em
x-y+z=1, x+2y+3z=1,
ficamos com
x - y + t = 1, x + 2y + 3t = 1
Da primeira equação segue
x = 1 + y - t
Substituindo na segunda:
(1+y - t) + 2y + 3t = 1 Longrightarrow 3y + 2t = 0 Longrightarrow y = -tfrac23,t
Logo,
x = 1 + l(-tfrac23tr) - t = 1 - tfrac53,t

Passo 3

Temos assim a parametrização com frações:
x = 1 - tfrac53t, y = -tfrac23t, z = t
Para eliminar frações, basta reparametrizar usando t=3lambda. Então:
x = 1 - 5lambda, y = -2lambda, z = 3lambda
Uma forma equivalente é inverter o sinal do parâmetro ( mu=-lambda) e obter o ponto inicial (1,0,0) e vetor diretor (5,2,-3). Assim:
x=1+5mu, y=2mu, z=-3mu

Passo 4

Para as equações simétricas, eliminamos o parâmetro mu:
mu = x-15 = y2 = z-3

Resposta

Equações paramétricas:
x=1+5t, y=2t, z=-3t
Equações simétricas:
x-15 ;=;y2;=;z-3

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