Determine as equações vetorial e paramétrica para a reta.
A reta que passa pelo ponto (-1,8,7) e é paralela ao vetor (12, 13, 14).

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial e paramétrica da reta que passa por (-1,8,7) e tem direção paralela ao vetor l(tfrac12,tfrac13,tfrac14r). Vamos usar a forma padrão de reta em R^3.

Passo 2

A teoria diz que toda reta em R^3 pode ser escrita na forma vetorial
r(t) = r0 + t,d,
onde r0 é o vetor posição de um ponto conhecido da reta e d é um vetor diretor.

Passo 3

Aqui r0=(-1,8,7) e d=l(tfrac12,tfrac13,tfrac14r). Substituindo na forma vetorial, obtemos
r(t) = (-1,8,7) + tl(tfrac12,tfrac13,tfrac14r)

Passo 4

Para extrair a forma paramétrica, escrevemos as componentes de r(t) separadamente:
x(t) = -1 + tfrac12,t, y(t) = 8 + tfrac13,t, z(t) = 7 + tfrac14,t

Resposta

Equação vetorial:
r(t) = (-1,8,7) + tl(tfrac12,tfrac13,tfrac14r)
Equações paramétricas:
x = -1 + tfrac12,t, y = 8 + tfrac13,t, z = 7 + tfrac14,t

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