Determine as equações vetorial e paramétrica para a reta.
A reta que passa pelo ponto (6,0,-2) e é paralela à reta
x=4-3 t, y=-1+4 t, z=6+5 t

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as equações vetorial e paramétrica de uma reta em R^3 que (1) passa pelo ponto (6,0,-2) e (2) é paralela à reta dada
x=4-3t, y=-1+4t, z=6+5t
O conteúdo principal aqui é representar retas em espaço por meio de vetor diretor e ponto de passagem.

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor da reta dada, basta olhar os coeficientes de t nas equações paramétricas. Assim, a reta dada tem vetor diretor
v = lang<= -3,,4,,5rang<=
Como queremos uma reta paralela a essa, usamos o mesmo vetor diretor.

Passo 3

A equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto r0 = lang<= 6,0,-2rang<= e tem vetor diretor v é
r(s) = r0 + s,v
Substituindo,
r(s) = lang<= 6,0,-2rang<= + s,lang<= -3,4,5rang<=

Passo 4

Para obter as equações paramétricas a partir da forma vetorial, basta escrever separadamente cada componente de r(s):
x = 6 - 3s, y = 0 + 4s, z = -2 + 5s

Resposta

Equação vetorial:
r(s) = lang<= 6,0,-2rang<= + s,lang<= -3,4,5rang<=
Equações paramétricas:
x = 6 - 3s, y = 4s, z = -2 + 5s

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