Determine as equações paramétrica e as equações simétricas para a reta.
A reta que passa por (2,1,0) e é perpendicular tanto a i+j quanto a j+k. Dica: A reta tem a direção do produto vetorial dos vetores i+j com j+k. Por quê?

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétrica e simétricas da reta que passa por (2,1,0) e é perpendicular aos vetores i+j e j+k. Isso envolve geometria vetorial no espaço e, em particular, o uso do produto vetorial para obter um vetor diretor perpendicular a dois dados vetores.

Passo 2

Denotemos
u = (1,1,0) e v = (0,1,1).
Usamos o produto vetorial porque ele gera um vetor perpendicular a ambos u e v. Calculamos
d = utimesv
As componentes de d são
dx = 1cdot1 - 0cdot1 = 1,
dy = 0cdot0 - 1cdot1 = -1,
dz = 1cdot1 - 1cdot0 = 1
Logo d = (1,-1,1).

Passo 3

A equação vetorial da reta, usando parâmetro t, é
(x,y,z) = (2,1,0) + t,(1,-1,1)
Em forma paramétrica:
x = 2 + t, y = 1 - t, z = 0 + t

Passo 4

Para obter a forma simétrica, isolamos t em cada equação:
t = x - 2, t = 1 - y, t = z
Portanto
x - 21 ;=; y - 1-1 ;=; z1

Resposta

Equação paramétrica:
x = 2 + t, y = 1 - t, z = t
Equação simétrica:
x - 21 = y - 1-1 = z1

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