Seja
a transformação linear definida por
. Quais dos seguintes vetores estão em
?
(a)
(b)
(c)
Quais dos seguintes vetores estão em
?
(a)
(b)
(c)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.
(a)
(b)
(c)
Quais dos seguintes vetores estão em
(a)
(b)
(c)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pergunta quais vetores estão em
nas duas listas dadas, além de encontrar uma base para o núcleo e uma base para a imagem de
. O conteúdo envolvido é conceito de núcleo (kernel) e de imagem de transformação linear, bem como escolha de bases.
Passo 2
Para achar
, note que
só é o polinômio nulo se, para todo
,
. Como isso deve valer para todo
, em particular para
, segue que
. Logo
Agora, verificamos os vetores indicados:
Primeira lista
(a) :
, logo
.
(b) :
, logo
.
(c) :
, logo
.
(a)
(b)
(c)
Segunda lista
(a) :
, não está no núcleo.
(b) :
, não está no núcleo.
(c) :
, não está no núcleo.
(a)
(b)
(c)
Passo 3
Como
é o subespaço trivial de dimensão zero, uma base para o núcleo é o conjunto vazio:
Passo 4
A imagem de
é
Escrevendo
, obtemos
isto é, todo polinômio em
cujo termo constante é zero. Portanto
e
é uma base.
Resposta
Primeira lista: somente
está em
.
Segunda lista: nenhum dos vetores está em .
Base do núcleo: .
Base da imagem: .
Segunda lista: nenhum dos vetores está em
Base do núcleo:
Base da imagem: