Seja T: P2 P3 a transformação linear definida por T p(x))=x p(x). Quais dos seguintes vetores estão em Nuc(T) ?
(a) x^2
(b) 0
(c) 1+x
Quais dos seguintes vetores estão em Nuc(T) ?
(a) x+x^2
(b) 1+x
(c) 3-x^2
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2to P3, Tl(p(x)r)=x,p(x),
e pergunta quais vetores estão em Nuc(T) nas duas listas dadas, além de encontrar uma base para o núcleo e uma base para a imagem de T. O conteúdo envolvido é conceito de núcleo (kernel) e de imagem de transformação linear, bem como escolha de bases.

Passo 2

Para achar Nuc(T)=pin P2mid x,p(x)=0 como polinômioô, note que x,p(x) só é o polinômio nulo se, para todo x, x,p(x)=0. Como isso deve valer para todo x, em particular para xneq0, segue que p(x)=0. Logo
Nuc(T)=0
Agora, verificamos os vetores indicados:
Primeira lista
(a) x^2: T(x^2)=x^3neq0, logo x^2notinNuc(T).
(b) 0: T(0)=0, logo 0inNuc(T).
(c) 1+x: T(1+x)=x+x^2neq0, logo 1+xnotinNuc(T).
Segunda lista
(a) x+x^2: T(x+x^2)=x^2+x^3neq0, não está no núcleo.
(b) 1+x: T(1+x)=x+x^2neq0, não está no núcleo.
(c) 3-x^2: T(3-x^2)=3x-x^3neq0, não está no núcleo.

Passo 3

Como Nuc(T)=0 é o subespaço trivial de dimensão zero, uma base para o núcleo é o conjunto vazio:
base de Nuc(T)=varnothing

Passo 4

A imagem de T é
Im(T)=,x,p(x)mid pin P2
Escrevendo p(x)=a x^2+b x+c, obtemos
x,p(x)=a x^3+b x^2+c x,
isto é, todo polinômio em P3 cujo termo constante é zero. Portanto
Im(T)=span,x,;x^2,;x^3,
e x,;x^2,;x^3 é uma base.

Resposta

Primeira lista: somente ;0; está em Nuc(T).
Segunda lista: nenhum dos vetores está em Nuc(T).
Base do núcleo: varnothing.
Base da imagem: ,x,;x^2,;x^3.

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