Determine as equações vetorial e paramétrica para a reta.
A reta que passa pelo ponto (-1,8,7) e é paralela ao vetor (12, 3, 14).

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial e paramétrica de uma reta em R^3 que passa pelo ponto P=(-1,8,7) e tem direção paralela ao vetor l(tfrac12,3,tfrac14r). Para isso, usamos a forma geral da reta:
r(t)=r0 + t,v,
onde r0 é o vetor posição de P e v é o vetor diretor.

Passo 2

O vetor posição de P é
r0 = lang<= -1,,8,,7rang<=
e o vetor diretor dado é
v = llang<= tfrac12,,3,,tfrac14rrang<=
Logo, a equação vetorial da reta é
r(t)=lang<= -1,,8,,7rang<= + t,llang<= tfrac12,,3,,tfrac14rrang<=, tinR

Passo 3

Para obter a forma paramétrica, basta igualar componente a componente na expressão r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r). Assim,
x(t) = -1 + tfrac12,t, y(t) = 8 + 3,t, z(t) = 7 + tfrac14,t, tinR

Resposta

Equação vetorial:
r(t)=lang<= -1,,8,,7rang<= + t,llang<= tfrac12,,3,,tfrac14rrang<=
Equações paramétricas:
x = -1 + tfrac12,t, y = 8 + 3,t, z = 7 + tfrac14,t, tinR

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