Seja
a transformação linear dada pela fórmula
Quais dos seguintes vetores estão em
?
(a)
(b)
(c)
Quais dos seguintes vetores estão em
?
(a)
(b)
(c)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.
(a)
(b)
(c)
Quais dos seguintes vetores estão em
(a)
(b)
(c)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Precisamos descobrir
- quais vetores de
dados estão em , - quais vetores de
dados estão em , - uma base de
e uma base de .
Passo 2
Para entender
e
, montamos a matriz associada
:
e aplicamos eliminação de Gauss:
Como há pivôs em três colunas (1ª, 2ª e 4ª) e um pivô não nulo na linha 3, o posto de
A é 3.
Passo 3
Do posto em
(que tem dimensão 3) segue que
Logo todo vetor de
é imagem de algum
. Em particular os itens
(a) , (b)
e (c)
estão todos em
.
(a)
Passo 4
Para o núcleo resolvemos
A,x=0 . A última linha dá
Da segunda linha normalizada
Da primeira linha
Tomando
x3=t livre, obtemos a parametrização
Isso mostra que
dimker(T)=1 .
Passo 5
Dos vetores propostos em
R^4 :
- (a)
é múltiplo escalar de(3,-8,2,0) (basta(tfrac32,-4,1,0) ), logo está emt=2 .ker(T) - (b)
tem(0,0,0,1) , não satisfazx4neq0 , então não está.x4=0 - (c)
corresponderia a(0,-4,1,0) mas falha emt=1 , então não está.x1
Portanto, somente (a) pertence a
ker(T) .
Passo 6
Bases pedidas:
- Base de
: podemos escolher o vetor gerador com coordenadas inteirasker(T)
- Base de
: comoIm(T) , bastam os vetores colunas pivô deIm(T)=R^3 , por exemploA
Resposta
Vetores em
Im(T) : (a), (b) e (c).
Vetores emker(T) : somente (a).
Base deker(T) :
(3,-8,2,0) .
Base deIm(T) :
(4,2,6),,(1,1,0),,(-3,-4,9) .
Vetores em
Base de
Base de