Seja T: R^4 R^3 a transformação linear dada pela fórmula
T(x1, x2, x3, x4)=(4 x1+x2-2 x3-3 x4, 2 x1+x2+x3-4 x4, 6 x1-9 x3+9 x4)
Quais dos seguintes vetores estão em Im(T) ?
(a) (0,0,6)
(b) (1,3,0)
(c) (2,4,1)
Quais dos seguintes vetores estão em Nuc(T) ?
(a) (3,-8,2,0)
(b) (0,0,0,1)
(c) (0,-4,1,0)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^4toR^3
por
T(x1,x2,x3,x4)=l(4x1+x2-2x3-3x4,;2x1+x2+x3-4x4,;6x1-9x3+9x4r)
Precisamos descobrir
  • quais vetores de R^3 dados estão em Im(T),
  • quais vetores de R^4 dados estão em ker(T),
  • uma base de ker(T) e uma base de Im(T).

Passo 2

Para entender Im(T) e ker(T), montamos a matriz associada Ain M3times4:
A= 4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & 0 & -9 & 9
e aplicamos eliminação de Gauss:
4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & 0 & -9 & 9 ;xrightarrowR2>=ts R2-tfrac12R1,;R3>=ts R3-tfrac32R1; 4 & 1 & -2 & -3 0 & tfrac12 & 2 & -2.5 0 & -1.5 & -6 & 13.5
xrightarrowR2>=ts 2R2,;R3>=ts R3+3R2 4 & 1 & -2 & -3 0 & 1 & 4 & -5 0 & 0 & 0 & 6
Como há pivôs em três colunas (1ª, 2ª e 4ª) e um pivô não nulo na linha 3, o posto de A é 3.

Passo 3

Do posto em (que tem dimensão 3) segue que
Logo todo vetor de é imagem de algum . Em particular os itens
(a) , (b) e (c) estão todos em .

Passo 4

Para o núcleo resolvemos A,x=0. A última linha dá
6,x4=0;Longrightarrow;x4=0
Da segunda linha normalizada
x2+4x3-5x4=0 ;Longrightarrow; x2=-4x3
Da primeira linha
4x1 + x2 -2x3 -3x4=0 ;Longrightarrow; 4x1 -4x3 -2x3=0 ;Longrightarrow; x1=tfrac32,x3
Tomando x3=t livre, obtemos a parametrização
x=(x1,x2,x3,x4) =l(tfrac32t,,-4t,;t,;0r) =t,( tfrac32,,-4,,1,,0)
Isso mostra que dimker(T)=1.

Passo 5

Dos vetores propostos em R^4:
  • (a) (3,-8,2,0) é múltiplo escalar de (tfrac32,-4,1,0) (basta t=2), logo está em ker(T).
  • (b) (0,0,0,1) tem x4neq0, não satisfaz x4=0, então não está.
  • (c) (0,-4,1,0) corresponderia a t=1 mas falha em x1, então não está.
Portanto, somente (a) pertence a ker(T).

Passo 6

Bases pedidas:
  • Base de ker(T): podemos escolher o vetor gerador com coordenadas inteiras
(3,-8,2,0)
  • Base de Im(T): como Im(T)=R^3, bastam os vetores colunas pivô de A, por exemplo
l(4,2,6),,(1,1,0),,(-3,-4,9)r

Resposta

Vetores em Im(T): (a), (b) e (c).
Vetores em ker(T): somente (a).
Base de ker(T): (3,-8,2,0).
Base de Im(T): (4,2,6),,(1,1,0),,(-3,-4,9).

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