Determine as equacoes paramétricas da curva
(isto é, a funcáo vetorial
cujo traç é
) nos seguintes casos:
é a elipse de vértices
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão que pede as equações paramétricas da curva $ C $, que é uma elipse com vértices em $ (0,4) $, $ (0,-4) $, $ (0,3) $ e $ (0,-3) $. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os vértices de uma elipse. Uma elipse tem dois eixos principais: o maior, chamado de eixo maior, e o menor, chamado de eixo menor. Os vértices no eixo maior são os pontos mais afastados do centro, e os no eixo menor são os menos afastados.
Passo 3
Observando os pontos dados:
- $ (0,4) $ e $ (0,-4) $ são os vértices do eixo maior.
- $ (0,3) $ e $ (0,-3) $ parecem ser os vértices do eixo menor, mas como todos estão no eixo y, há um equívoco. Normalmente, os vértices do eixo menor estariam no eixo x. Vamos assumir que os pontos corretos para o eixo menor seriam $ (3,0) $ e $ (-3,0) $.
Passo 4
Com isso, identificamos:
- O centro da elipse é $ (0,0) $.
- O comprimento do eixo maior é $ 2b = 8 $ (já que vai de $ -4 $ a $ 4 $ no eixo y), então $ b = 4 $.
- O comprimento do eixo menor é $ 2a = 6 $ (de $ -3 $ a $ 3 $ no eixo x), então $ a = 3 $.
Passo 5
A forma padrão da equação paramétrica de uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical é:
onde $ t $ é o parâmetro que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 6
Substituindo $ a = 3 $ e $ b = 4 $ na equação paramétrica, temos:
Resposta
As equações paramétricas da curva $ C $ são:
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.