A=(5,3,-1) é um dos vértices do quadrado A B C D cuja diagonal B D está contida na reta r=lx=2+alpha y=3+alpha z=-1-alpha.
Determine as coordenadas dos vértices B, C, D dado que a cota (3a. coordenada) de B é menor do que a cota de D.

Passo 1

O enunciado dá o vértice A=(5,3,-1) de um quadrado ABCD cuja diagonal BD está contida na reta
r: x=2+alpha, y=3+alpha, z=-1-alpha
Queremos achar B, D (na reta r) e C, sabendo que a cota (terceira coordenada) de B é menor que a de D. Para resolver, vamos usar as propriedades dos quadrados: as diagonais têm mesmo comprimento, são perpendiculares e se bissetam.

Passo 2

Sejam os parâmetros de B e D na reta r dados por beta e de<a. Então
B = (2+beta,;3+beta,;-1-beta), D = (2+de<a,;3+de<a,;-1-de<a)
Chamando
k = de<a-beta e s = beta+de<a,
temos o vetor diagonal
BD = D - B = (de<a-beta,;de<a-beta,;-de<a+beta) = k,(1,1,-1)

Passo 3

O ponto médio das diagonais é
M = B+D2 = l(tfrac4+s2,;tfrac6+s2,;-tfrac2+s2r)
Como AC é a outra diagonal,
C = 2M - A = l(s-1,;s+3,;-1-sr)
Assim o vetor
AC = C - A = (s-6,;s,;-s)

Passo 4

No quadrado vale BDperpAC e |BD|=|AC|.
  1. Perpendicularidade:
BD,cdot,AC = k,( (s-6)+s+s ) = k,(3s-6) = 0 ;Longrightarrow; s=2
  1. Comprimentos iguais:
|BD|^2 = 3k^2, |AC|^2 = (s-6)^2+2s^2 = (-4)^2+2cdot2^2 =24 ;Longrightarrow; 3k^2=24 ;Longrightarrow; k^2=8
Como a cota de B é menor que a de D, temos beta>de<a, logo k=de<a-beta<0. Assim
k=-2raiz2, beta+de<a = 2, de<a-beta = -2raiz2, ;Longrightarrow; de<a=1-raiz2,; beta=1+raiz2

Passo 5

Substituindo:
B = l(2+beta,;3+beta,;-1-betar) = l(3+raiz2,;4+raiz2,;-2-raiz2r),
D = l(2+de<a,;3+de<a,;-1-de<ar) = l(3-raiz2,;4-raiz2,;-2+raiz2r),
e já tínhamos
C = (s-1,;s+3,;-1-s)|s=2 = (1,5,-3)

Resposta

B=(3+raiz2,;4+raiz2,;-2-raiz2)
C=(1,5,-3)
D=(3-raiz2,;4-raiz2,;-2+raiz2)

Exercícios relacionados