Do ponto P=(5,4,-7) é traçada uma perpendicular ao plano pi. Se o pé desta perpendicular é o ponto Q=(2,2,-1), encontre a equação cartesiana de pi.
Resposta: 3 x+2 y-6 z-16=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto e sabemos que dele é traçada uma perpendicular ao plano . O ponto onde essa perpendicular toca o plano é . Nosso objetivo é encontrar a equação cartesiana desse plano . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores normais e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal ao plano n = Q - P = (2 - 5, 2 - 4, -1 - (-7)) = (-3, -2, 6) . O vetor normal é perpendicular ao plano e, neste caso, é dado pela direção da perpendicular traçada de a .
Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor normal é .

Passo 3

Com o vetor normal em mãos e sabendo que o ponto a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 pertence ao plano -3(x - 2) - 2(y - 2) + 6(z + 1) = 0 , podemos montar a equação geral do plano. A fórmula geral é:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano. Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão. Primeiro, distribuímos os termos:
-3x + 6 - 2y + 4 + 6z + 6 = 0
Em seguida, somamos os termos semelhantes:
-3x - 2y + 6z + 16 = 0
Para deixar a equação mais apresentável, podemos multiplicar todos os termos por 3x + 2y - 6z - 16 = 0 :

Resposta

A equação cartesiana do plano 3x + 2y - 6z - 16 = 0 é:

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