Seja , com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e o subespaço vetorial de abaixo:
Obter explicitamente o complemento ortogonal , uma base para e sua dimensão ( 1,2 ponto)
Passo 1
O enunciado pede o complemento ortogonal de
no espaço euclidiano com o produto interno usual. Vamos usar que, se
para uma matriz , então
isto é, o espaço gerado pelas linhas de .
Passo 2
Escrevemos as duas equações de na forma matricial . As linhas de são os vetores normais a cada hipersuperfície:
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U = ,vinR^4 mid Av=0 = ker A
Passo 3
Pelo fato geral de espaços euclidianos,
é o subespaço gerado pelas linhas de . Assim
Passo 4
Verificamos que (1,-1,1,0) e (1,1,0,0) são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo escalar do outro. Portanto estas duas linhas formam uma base de U^perp e