Seja V=R^4, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar usuais, e U o subespaço vetorial de V abaixo:
U=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y+z=0 ; x+y=0
Obter explicitamente o complemento ortogonal U^perp, uma base para U^perp e sua dimensão ( 1,2 ponto)

Passo 1

O enunciado pede o complemento ortogonal U^perp de
U=(x,y,z,t)inR^4 mid x - y + z = 0,; x + y = 0
no espaço euclidiano R^4 com o produto interno usual. Vamos usar que, se
U = ker A
para uma matriz A, então
U^perp = Row(A),
isto é, o espaço gerado pelas linhas de A.

Passo 2

Escrevemos as duas equações de U na forma matricial A(x,y,z,t)^T=0. As linhas de A são os vetores normais a cada hipersuperfície:
A = 1 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0
Logo
U = ,vinR^4 mid Av=0 = ker A

Passo 3

Pelo fato geral de espaços euclidianos,
é o subespaço gerado pelas linhas de . Assim

Passo 4

Verificamos que (1,-1,1,0) e (1,1,0,0) são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo escalar do outro. Portanto estas duas linhas formam uma base de U^perp e
dim U^perp = 2

Resposta


uma base é e

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