Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos \pi e \beta, dadas as retas \quad r: x=t, \quad y=1-3 t, \quad z=-2+2 t \quad e \quad s: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-2}{2}\, os planos \quad \pi: x=2 p-q, y=-3 p+q, z=p-q\, \n$\alpha: 2 x+y-z+2=0, \quad \text { e } \quad \beta: x-y+z+3=0 \text {, }

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção dos planos \pi e \beta. O plano \pi está dado pela parametrização
x = 2p - q,\quad y = -3p + q,\quad z = p - q,
e o plano \beta pela equação
x - y + z + 3 = 0.
Para encontrar a reta de interseção, vamos inserir a parametrização de \pi em \beta e obter uma relação entre p e q.

Passo 2

Substituímos
x = 2p - q,\quad y = -3p + q,\quad z = p - q
em
x - y + z + 3 = 0.
Isso dá
(2p - q)\;-\;(-3p + q)\;+\;(p - q)\;+\;3 = 0.

Passo 3

Simplificando a expressão:
2p - q + 3p - q + p - q + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6p - 3q + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2p - q + 1 = 0.
Logo
q = 2p + 1.

Passo 4

Escolhemos p como parâmetro livre, digamos t. Então
q = 2t + 1,
e a parametrização fica
x = 2t - (2t+1) = -1,
y = -3t + (2t+1) = 1 - t,
z = t - (2t+1) = -1 - t.
Portanto, tomando o parâmetro t, temos as equações paramétricas da reta.

Resposta

\boxed{ x = -1,\quad y = 1 - t,\quad z = -1 - t }

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