Determine as equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano \pi, dadas as retas \quad r: x=t, \quad y=1-3 t, \quad z=-2+2 t \quad e \quad s: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-2}{2}\, os planos \quad \pi: x=2 p-q, y=-3 p+q, z=p-q\, \n$\alpha: 2 x+y-z+2=0, \quad \text { e } \quad \beta: x-y+z+3=0 \text {, }

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \pi pelas equações paramétricas
x=2p - q,\quad y=-3p + q,\quad z=p - q
e pede a reta que passa pela origem e é perpendicular a \pi.
Conteúdo: geometria no espaço (reta e plano), vamos precisar obter o vetor normal a \pi a partir dos vetores diretores do plano.

Passo 2

Das equações paramétricas de \pi extraímos dois vetores diretores:
\vec v_1 = (2,\,-3,\,1), \qquad \vec v_2 = (-1,\,1,\,-1).

Passo 3

O vetor normal \vec n ao plano \pi é dado pelo produto vetorial
\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (2,\;1,\;-1).

Passo 4

A reta procurada passa por (0,0,0) e tem direção \vec n=(2,1,-1). Logo suas equações paramétricas são
x=2t,\quad y=t,\quad z=-t.

Resposta

x=2t,\;y=t,\;z=-t.

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