Escreva a equação cartesiana do plano que contém as retas r e s, dadas as retas \quad r: x=t, \quad y=1-3 t, \quad z=-2+2 t \quad e \quad s: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-2}{2}\, os planos \quad \pi: x=2 p-q, y=-3 p+q, z=p-q\, \n$\alpha: 2 x+y-z+2=0, \quad \text { e } \quad \beta: x-y+z+3=0 \text {, }

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que contém as retas r:\;x=t,\;y=1-3t,\;z=-2+2t
e s:\;\frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-2}{2}.
Para isso precisamos de um ponto comum a ambas as retas e de um vetor normal ao plano, que obtém-se a partir do produto vetorial de dois vetores diretores das retas.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de r e de s:
– Para r, como x=t,\;y=1-3t,\;z=-2+2t, o vetor diretor é
\mathbf v_r=(1,\,-3,\,2).
– Para s, escrevendo x=2+3u,\;y=-5+u,\;z=2+2u, o vetor diretor é
\mathbf v_s=(3,\,1,\,2).

Passo 3

Encontramos o ponto de interseção das retas resolvendo
\begin{cases} t = 2+3u,\\\\ 1-3t = -5+u,\\\\ -2+2t = 2+2u. \end{cases}
Da segunda equação vem u=0 e então t=2. O ponto comum é
P=(x,y,z)\bigl|_{t=2}=(2,\,-5,\,2).

Passo 4

O vetor normal \mathbf n ao plano é
\mathbf n = \mathbf v_r \times \mathbf v_s = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -3 & 2\\\\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} =(-8,\,4,\,10).
Podemos simplificar dividindo por 2 e trocando sinal, por exemplo \mathbf n=(-4,\,2,\,5).

Passo 5

A equação do plano com normal \mathbf n=(-4,2,5) que passa em P=(2,-5,2) é
-4(x-2)+2(y+5)+5(z-2)=0.
Expandindo e rearranjando,
-4x+8+2y+10+5z-10=0 \;\Longrightarrow\; -4x+2y+5z+8=0 \;\Longrightarrow\; 4x-2y-5z-8=0.

Resposta

A equação cartesiana do plano que contém r e s é
4x - 2y - 5z - 8 = 0.

Exercícios relacionados