Verifique se P_{1}=(1,-2,0) pertence à reta s, e se P_{2}=(1,0,-2) pertence ao plano \alpha, dadas as retas \quad r: x=t, \quad y=1-3 t, \quad z=-2+2 t \quad e \quad s: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-2}{2}\, os planos \quad \pi: x=2 p-q, y=-3 p+q, z=p-q\, \n$\alpha: 2 x+y-z+2=0, \quad \text { e } \quad \beta: x-y+z+3=0 \text {, }

Passo 1

O enunciado pede para verificar dois pertencimentos:
  1. Se P_{1}=(1,-2,0) está na reta
s:\;\frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{1}=\frac{z-2}{2}\,.
  1. Se P_{2}=(1,0,-2) está no plano
\alpha:\;2x+y-z+2=0\,.
Para a reta usaremos a forma paramétrica associada a esse “quociente comum” e para o plano basta substituir as coordenadas de P_{2} na sua equação.

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas de s tomando o parâmetro \lambda:
x=2+3\lambda,\quad y=-5+\lambda,\quad z=2+2\lambda.
Então, para P_{1}=(1,-2,0) precisamos de um \lambda que satisfaça simultaneamente
1=2+3\lambda,\quad -2=-5+\lambda,\quad 0=2+2\lambda.

Passo 3

Resolvendo cada uma:
Da primeira,
\lambda=\frac{1-2}{3}=-\tfrac{1}{3}.
Com esse \lambda, a segunda daria
-5+(-\tfrac{1}{3})=-\tfrac{16}{3}\neq -2,
logo não há um mesmo \lambda que satisfaça os três, e P_{1}\notin s.

Passo 4

Para verificar P_{2}=(1,0,-2) em \alpha, substituímos na equação
2x+y-z+2=0:
2\cdot1 + 0 -(-2) + 2 = 2 + 2 + 2 = 6 \neq 0.

Passo 5

Como a soma deu 6 em vez de 0, concluímos que P_{2}\notin \alpha.

Resposta

P_{1} não pertence à reta s, e P_{2} não pertence ao plano \alpha.

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