Use a definição da derivada para calcular f^prime(x) quando f(x)=x^3-3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^3-3 usando a definição de derivada como limite do quociente incremental. O conteúdo aqui é a aplicação direta da definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada para f:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Calculemos f(x+h) e a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)=(x+h)^3-3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 -3,
então
f(x+h)-f(x) = l[x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 -3r] - (x^3-3) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3

Passo 4

Formamos o quociente incremental e simplificamos fatorando h:
f(x+h)-f(x)h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3h = 3x^2 + 3xh + h^2

Passo 5

Tomamos o limite quando hto0:
f'(x)=limhto0l(3x^2 + 3xh + h^2r) = 3x^2 + 3xcdot0 + 0^2 = 3x^2

Resposta

f'(x)=3x^2

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