Determine as equações paramétricas da reta r que passa por A=(0,1,0), dista raiz23 da origem e é paralela ao plano x-y-1=0.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta r que passa por A=(0,1,0), é paralela ao plano x - y - 1 = 0 e cuja distância até a origem é raiztfrac23. Vamos usar:
  1. Representar r por r(t)=A+tv.
  2. A condição de paralelismo ao plano diz que v deve ser ortogonal ao vetor normal n=(1,-1,0).
  3. A distância da reta à origem é dada por
d=|OAtimesv||v|;

Passo 2

Como v=(v1,v2,v3) e n=(1,-1,0), o paralelismo exige
vcdotn=v1cdot1+v2cdot(-1)+v3cdot0=0 ;Longrightarrow;v1=v2
Logo podemos tomar v=(1,1,k) sem perda de geralidade.

Passo 3

Calculamos OA=(0,1,0) e
OAtimesv =(0,1,0)times(1,1,k) =(k,0,-1),
de onde
|OAtimesv| =raizk^2+1, |v|=raiz1^2+1^2+k^2=raiz2+k^2

Passo 4

Impondo
raizk^2+1raiz2+k^2 =raiz23 ;Longrightarrow; k^2+1k^2+2=23 ;Longrightarrow; 3(k^2+1)=2(k^2+2) ;Longrightarrow; k^2=1,
então k=pm1.

Passo 5

Assim obtemos duas possíveis direções
v1=(1,1,1) e v2=(1,1,-1). Em cada caso a reta r passa por A quando t=0.

Resposta

As equações paramétricas de r são
(i) x=t, y=1+t, z=t, ou (ii) x=t, y=1+t, z=-t

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