Encontre a equação geral do plano determinado pelos pontos A=(5,-3,1), B= (6,-2,2), C=(7,-5,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(5,-3,1), B=(6,-2,2) e C=(7,-5,0). Para isso, vamos usar vetores diretores e produto vetorial para obter um vetor normal n ao plano e depois aplicar a forma ponto-normal da equação do plano.

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC:
AB = B - A = (6-5,,-2-(-3),,2-1) = (1,,1,,1),
AC = C - A = (7-5,,-5-(-3),,0-1) = (2,,-2,,-1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial ABtimesAC. Calculando:
n = i & j & k 1 & 1 & 1 2 & -2 & -1 = l(1cdot(-1)-1cdot(-2),,-l(1cdot(-1)-1cdot2r),,1cdot(-2)-1cdot2r) = (1,,3,,-4)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal:
ncdot(r-r0)=0,
onde n=(1,3,-4), r=(x,y,z) e r0=A=(5,-3,1). Substituindo:
(1,3,-4)cdot(x-5,,y+3,,z-1)=0 Longrightarrow 1(x-5)+3(y+3)-4(z-1)=0

Passo 5

Expandindo:
x -5 +3y +9 -4z +4 = 0 Longrightarrow x + 3y - 4z + 8 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
x + 3y - 4z + 8 = 0

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