Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P=(3,-5,10), Q= (3,-7,11), R=(4,-6,12).

Passo 1

O exercício pede a equação geral do plano em R^3 que passa pelos pontos P=(3,-5,10), Q=(3,-7,11) e R=(4,-6,12). Para resolver, vamos achar um vetor normal ao plano via produto vetorial e usar a forma geral Ax+By+Cz+D=0.

Passo 2

Beleza, escolhemos dois vetores diretores a partir de P. Primeiro,
PQ = Q - P = (3-3,,-7-(-5),,11-10) = (0,-2,1)
Depois,
PR = R - P = (4-3,,-6-(-5),,12-10) = (1,-1,2)

Passo 3

Aí fazemos o produto vetorial para achar o normal n=(A,B,C):
n = PQ times PR = i & j & k 0 & -2 & 1 1 & -1 & 2 = (-3,1,2)

Passo 4

Então, usando a forma ponto-normal com P=(x0,y0,z0) e n=(A,B,C), a equação do plano é
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Substituindo A=-3, B=1, C=2 e P=(3,-5,10), dá
-3(x-3) + 1(y+5) + 2(z-10) = 0
Expandindo:
-3x + 9 + y + 5 + 2z - 20 = 0
-3x + y + 2z - 6 = 0
Multiplicando tudo por -1 pra deixar mais bonito, chega em
3x - y - 2z + 6 = 0

Resposta

3x - y - 2z + 6 = 0

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