Determine as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
, onde:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
. As informações dadas são:
-
. (Peguei as coordenadas de do enunciado.) -
. (Peguei as componentes do vetor do enunciado.)
A pergunta é: quais são as equações paramétricas (em termos de um parâmetro real) da retadeterminada por esses dados?
Passo 2
Conceito básico (passo-a-passo): dado um ponto
e um vetor diretor
, a reta que passa por
e tem direção
pode ser escrita em forma vetorial como
onde
é o parâmetro. Aqui:
-
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (ou seja, as coordenadas de um ponto da reta dependem de ); -
é o vetor posição do ponto inicial (o ponto dado); -
é o vetor diretor, que dá a direção da reta; -
varia por todos os reais e, ao variar, gera todos os pontos da reta.
Passo 3
Converter a forma vetorial para equações em coordenadas: se
então, separando coordenadas, obtemos as equações paramétricas
Explicando: a primeira linha diz como a coordenada
varia com
e a segunda como a coordenada
varia com
. Cada valor de
dá um ponto
na reta.]
Passo 4
Agora aplico os valores dados:
,
,
,
. Substituindo nas fórmulas do passo anterior:
Simplificando os produtos:
Passo 5
Interpretação geométrica e formas alternativas: como
, a coordenada
é constante igual a
. Isso significa que
é uma reta horizontal. Em forma vetorial, a reta fica
Em forma cartesiana (não paramétrica), essa reta é simplesmente
com
livre.
Passo 6
Verificação com exemplos numéricos (para ganhar confiança): escolha alguns valores de
.
- Para
: — retorna ao ponto . - Para
: . - Para
: .
Todos esses pontos tême estão alinhados horizontalmente, mostrando que a fórmula está correta.
Passo 7
Observação sobre vetores diretores equivalentes: qualquer múltiplo não-nulo de
gera a mesma reta. Por exemplo,
também é vetor diretor; nesse caso a parametrização poderia ser
. As duas parametrizações representam a mesma reta, basta relacionar os parâmetros (
).