Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P_{0} e é paralela ao vetor \vec{v}, onde:
P_{0}=\left(-1, \frac{1}{2}\right), \vec{v}=(1,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P_{0} e é paralela ao vetor \vec{v}. As informações dadas são:
  • P_{0}=\left(-1,\tfrac{1}{2}\right). (Peguei as coordenadas de P_{0} do enunciado.)
  • \vec{v}=(1,0). (Peguei as componentes do vetor \vec{v} do enunciado.)
    A pergunta é: quais são as equações paramétricas (em termos de um parâmetro real) da reta r determinada por esses dados?

Passo 2

Conceito básico (passo-a-passo): dado um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0}) e um vetor diretor \vec{v}=(v_x,v_y), a reta que passa por P_{0} e tem direção \vec{v} pode ser escrita em forma vetorial como
\vec{r}(t)=\vec{P_{0}}+t\vec{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (ou seja, as coordenadas de um ponto da reta dependem de t);
  • \vec{P_{0}}=(x_{0},y_{0}) é o vetor posição do ponto inicial (o ponto dado);
  • \vec{v}=(v_x,v_y) é o vetor diretor, que dá a direção da reta;
  • t varia por todos os reais e, ao variar, gera todos os pontos da reta.

Passo 3

Converter a forma vetorial para equações em coordenadas: se
\vec{r}(t)=(x(t),y(t))=(x_{0},y_{0})+t(v_x,v_y),
então, separando coordenadas, obtemos as equações paramétricas
\begin{cases} x(t)=x_{0}+v_x\,t,\\[4pt] y(t)=y_{0}+v_y\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Explicando: a primeira linha diz como a coordenada x varia com t e a segunda como a coordenada y varia com t. Cada valor de t dá um ponto (x(t),y(t)) na reta.]

Passo 4

Agora aplico os valores dados: x_{0}=-1, y_{0}=\tfrac{1}{2}, v_x=1, v_y=0. Substituindo nas fórmulas do passo anterior:
\begin{cases} x(t)=-1+1\cdot t,\\[4pt] y(t)=\tfrac{1}{2}+0\cdot t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Simplificando os produtos:
\begin{cases} x(t)=-1+t,\\[4pt] y(t)=\tfrac{1}{2}, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Interpretação geométrica e formas alternativas: como v_y=0, a coordenada y é constante igual a \tfrac{1}{2}. Isso significa que r é uma reta horizontal. Em forma vetorial, a reta fica
\vec{r}(t)=\left(-1,\tfrac{1}{2}\right)+t(1,0),\quad t\in\mathbb{R}.
Em forma cartesiana (não paramétrica), essa reta é simplesmente
y=\tfrac{1}{2},
com x livre.

Passo 6

Verificação com exemplos numéricos (para ganhar confiança): escolha alguns valores de t.
  • Para t=0: (x,y)=(-1,\tfrac{1}{2}) — retorna ao ponto P_{0}.
  • Para t=1: (x,y)=(0,\tfrac{1}{2}).
  • Para t=-2: (x,y)=(-3,\tfrac{1}{2}).
    Todos esses pontos têm y=\tfrac{1}{2} e estão alinhados horizontalmente, mostrando que a fórmula está correta.

Passo 7

Observação sobre vetores diretores equivalentes: qualquer múltiplo não-nulo de \vec{v} gera a mesma reta. Por exemplo, (2,0) também é vetor diretor; nesse caso a parametrização poderia ser (x,y)=(-1,\tfrac{1}{2})+s(2,0). As duas parametrizações representam a mesma reta, basta relacionar os parâmetros ( t=2s).

Resposta

\displaystyle x=-1+t,\\ y=\tfrac{1}{2},\\ t\in\mathbb{R}
\displaystyle \vec{r}(t)=\left(-1,\tfrac{1}{2}\right)+t(1,0),\\ t\in\mathbb{R}

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