Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P_{0} e é paralela ao vetor \vec{v}, onde:
P_{0}=(-2,-1), \vec{v}=\left(2, \frac{9}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P_{0} e é paralela ao vetor \vec{v}.
Informações dadas:
  • Ponto P_{0}=(-2,-1). Ou seja, a coordenada x do ponto é -2 e a coordenada y é -1.
  • Vetor \vec{v}=\left(2,\dfrac{9}{4}\right). Ou seja, a componente horizontal (direção em x) é 2 e a componente vertical (direção em y) é \dfrac{9}{4}.
O que se pede explicitamente:
  • Encontrar as equações paramétricas x(\text{par}) e y(\text{par}) da reta r. Não é pedido outro tipo de representação, apenas as equações paramétricas.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática do que significa escrever equações paramétricas de uma reta):
  • Uma reta que passa por um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0}) e tem como direção um vetor \vec{v}=(v_{x},v_{y}) pode ser escrita na forma vetorial
\vec{r}(t)=\vec{P_{0}}+t\vec{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro real. Aqui:
  • \vec{P_{0}}=(x_{0},y_{0}) é o vetor posição do ponto inicial;
  • \vec{v}=(v_{x},v_{y}) é o vetor de direção (qualquer múltiplo escalar de \vec{v} define a mesma direção);
  • t varia por todos os reais para percorrer toda a reta.
  • Para passar da forma vetorial para as equações paramétricas, fazemos a soma componente a componente:
\vec{r}(t)=(x_{0}+t v_{x},\; y_{0}+t v_{y}).
Isso corresponde às equações paramétricas
x = x_{0}+t v_{x},\qquad y = y_{0}+t v_{y},\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
  • Aqui x_{0}=-2, y_{0}=-1, v_{x}=2, v_{y}=\dfrac{9}{4}.
  • Substituindo em x=x_{0}+t v_{x} e y=y_{0}+t v_{y} obtemos
x = -2 + 2t,
y = -1 + \dfrac{9}{4}\,t,
com t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificação rápida para fixar a ideia (útil para a prova):
  • Se t=0 então x=-2 e y=-1, ou seja, volta no ponto P_{0} (boa checagem).
  • Se t=1 então x=-2+2=0 e y=-1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{5}{4}, que é o ponto P_{0}+\vec{v} (ou seja, andou uma vez na direção do vetor).

Passo 5

Forma alternativa sem fração (opcional, também útil em prova): pode-se usar um parâmetro u tal que t=4u. Substituindo:
x=-2+2(4u)=-2+8u,
y=-1+\dfrac{9}{4}(4u)=-1+9u,
com u\in\mathbb{R}. Essa forma é equivalente à anterior e evita frações nas componentes.

Resposta

x=-2+2t,\quad y=-1+\dfrac{9}{4}t,\quad t\in\mathbb{R}

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