Use a Regra da Cadeia e a Regra do Produto para dar uma demonstração alternativa da Regra do Quociente.
[Sugestão: Escreva f(x) / g(x)=f(x)[g(x)]^-1.]

Passo 1

O enunciado pede uma demonstração da regra do quociente
ddxl(f(x)g(x)r)
usando apenas a regra do produto e a regra da cadeia. A ideia é reescrever
f(x)g(x) = f(x),l[g(x)r]^-1
e então aplicar produto e cadeia em vez de tratar direto como quociente.

Passo 2

Lembramos da regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
ddxl(u(x),v(x)r) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Aqui iremos tomar u(x)=f(x) e v(x)=l[g(x)r]^-1.

Passo 3

Agora recordamos a regra da cadeia para potências: se h(x) é diferenciável e queremos ddxl[h(x)r]^n, então
ddxl[h(x)r]^n = n,l[h(x)r]^n-1,h'(x)
No nosso caso n=-1 e h(x)=g(x), de modo que
ddxl[g(x)r]^-1 = -1 ,l[g(x)r]^-2,g'(x) = -g'(x)l[g(x)r]^2

Passo 4

Aplicando a regra do produto em f(x),l[g(x)r]^-1, temos
ddxl(f(x),[g(x)]^-1r) = f'(x),[g(x)]^-1 + f(x),ddxl[g(x)r]^-1
Substituindo o resultado da cadeia,
= f'(x)g(x) + f(x),l(-g'(x)[g(x)]^2r) = f'(x)g(x) - f(x),g'(x)[g(x)]^2
Para somar frações com denominador comum [g(x)]^2, escrevemos
f'(x)g(x) = f'(x),g(x)[g(x)]^2,
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ddxl(f(x)g(x)r) = f'(x),g(x) - f(x),g'(x)[g(x)]^2

Resposta

boxedddxl(f(x)g(x)r) = f'(x),g(x) - f(x),g'(x)[g(x)]^2

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