Esboce o gráfico da curva no plano cartesiano cuja equação vetorial é dada, e indique com setas no gráfico a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t)=(e^t+1, e^2 t)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano cartesiano a curva dada pela parametrização r(t)=(e^t+1,;e^2t) e indicar com setas a direção em que t cresce. O conteúdo principal é curvas paramétricas e precisamos converter para a forma cartesiana para facilitar o esboço.

Passo 2

Observe que a componente x satisfaz x=e^t+1. Logo, e^t=x-1. Substituindo em y=e^2t temos

Passo 3

y=(e^t)^2=(x-1)^2

Passo 4

A equação cartesiana é y=(x-1)^2. Como e^t>0, temos x-1>0, isto é x>1. Portanto, a curva é o ramo da parábola y=(x-1)^2 para x>1.

Passo 5

Para esboçar, desenhe a parábola com vértice em (1,0), mas apenas a parte à direita de x=1, crescendo em y conforme x aumenta.

Passo 6

Para marcar a direção de t, note que quando tto-infty temos (x,y)to(1,0) e, à medida que t cresce, x e y aumentam. Então coloque setas ao longo da parábola apontando do ponto (1,0) para a região de maiores x e y.

Resposta

A curva é o ramo da parábola y=(x-1)^2 para x>1, e a direção de crescimento de t vai do ponto (1,0) para a direita e para cima ao longo da parábola.

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