Use a limitação para mostrar que as funções abaixo têm limite igual a zero na origem.
f(x, y)=\frac{x{3}}{x{2}+y^{2}}
Passo 1
Resumindo: queremos mostrar que .
O conteúdo é limites em duas variáveis usando o teorema do sanduíche (limitação). Vamos usar coordenadas polares para encontrar uma cota que vá a zero.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
Então
Como |costheta|<=1, segue
|f(x,y)| <= r
Passo 3
Quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e, pela desigualdade acima, |f(x,y)|<= rto0.
Pelo teorema do sanduíche, concluímos que f(x,y)to0