Use a limitação para mostrar que as funções abaixo têm limite igual a zero na origem.
f(x, y)=\frac{x{3}}{x{2}+y^{2}}

Passo 1

Resumindo: queremos mostrar que
lim(x,y)to(0,0) x^3x^2+y^2=0.
O conteúdo é limites em duas variáveis usando o teorema do sanduíche (limitação). Vamos usar coordenadas polares para encontrar uma cota que vá a zero.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2+y^2
Então
|f(x,y)| = |x^3x^2+y^2| = |x|^3r^2 = (r|costheta|)^3r^2 = r,|costheta|^3
Como |costheta|<=1, segue
|f(x,y)| <= r

Passo 3

Quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e, pela desigualdade acima,
|f(x,y)|<= rto0.
Pelo teorema do sanduíche, concluímos que
f(x,y)to0

Resposta

lim(x,y)to(0,0) x^3x^2+y^2 = 0

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