Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
integral1 / 3^3 raizxx^2+x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral1/3^3 raizxx^2+x,dx
Usaremos uma substituição que transforme raizx e dx em potências de uma nova variável, de modo a obter uma função racional.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = raizx,
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x = u^2, dx = 2u,du, raizx = u

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando os limites: quando x=1/3, u=1/raiz3; quando x=3, u=raiz3. Assim
integral1/3^3 raizxx^2+x,dx = integral1/raiz3^raiz3 u(u^2)^2+u^2;2u,du = integral1/raiz3^raiz3 2u^2u^4+u^2,du
Como u^4+u^2=u^2(u^2+1), isso simplifica para
integral1/raiz3^raiz3 2u^2u^2(u^2+1),du = integral1/raiz3^raiz3 2u^2+1,du

Passo 4

Integramos a função racional:
integral 2u^2+1,du =2arctan(u)

Passo 5

Avaliaremos de u=1/raiz3 a u=raiz3:
2l[arctan(u)r]1/raiz3^raiz3 =2l(arctan(raiz3)-arctan(1/raiz3)r) =2l(pi3-pi6r) =pi3

Resposta

pi3

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