Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
17. x=t \cos 2 \pi t, y=t \operatorname{sen} 2 \pi t, z=4 t ; (0, \frac{1}{4}, 1)
17. x=t \cos 2 \pi t, y=t \operatorname{sen} 2 \pi t, z=4 t ; (0, \frac{1}{4}, 1)
Passo 1
A curva é dada em forma paramétrica por
e queremos a reta tangente no ponto
. Para isso vamos:
- Determinar
tal que . - Calcular o vetor velocidade
. - Avaliar
para obter o vetor direção da reta. - Escrever a reta em forma paramétrica ponto-direção.
Passo 2
Do terceiro componente temos
Verificando os outros:
logo de fato
.
Passo 3
Derivando componente a componente,
Passo 4
Em
temos
e
, portanto
O vetor direção da reta tangente é
.
Passo 5
Tomando
como parâmetro da reta, a forma ponto-direção em
fica