Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
17. x=t \cos 2 \pi t, y=t \operatorname{sen} 2 \pi t, z=4 t ; (0, \frac{1}{4}, 1)

Passo 1

A curva é dada em forma paramétrica por
x(t)=t\cos\bigl(2\pi t\bigr),\quad y(t)=t\sin\bigl(2\pi t\bigr),\quad z(t)=4t
e queremos a reta tangente no ponto \bigl(0,\tfrac14,1\bigr). Para isso vamos:
  1. Determinar t_0 tal que r(t_0)=(0,\tfrac14,1).
  2. Calcular o vetor velocidade r'(t).
  3. Avaliar r'(t_0) para obter o vetor direção da reta.
  4. Escrever a reta em forma paramétrica ponto-direção.

Passo 2

Do terceiro componente temos
z(t_0)=4t_0=1\quad\Longrightarrow\quad t_0=\frac14.
Verificando os outros:
x\bigl(\tfrac14\bigr)=\tfrac14\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0,\quad y\bigl(\tfrac14\bigr)=\tfrac14\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac14,
logo de fato r(\tfrac14)=(0,\tfrac14,1).

Passo 3

Derivando componente a componente,
x'(t)=\cos(2\pi t)-2\pi t\sin(2\pi t),\quad y'(t)=\sin(2\pi t)+2\pi t\cos(2\pi t),\quad z'(t)=4.

Passo 4

Em t_0=\tfrac14 temos \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1, portanto
x'\bigl(\tfrac14\bigr)=0-2\pi\cdot\tfrac14\cdot1=-\frac\pi2,\quad y'\bigl(\tfrac14\bigr)=1+2\pi\cdot\tfrac14\cdot0=1,\quad z'\bigl(\tfrac14\bigr)=4.
O vetor direção da reta tangente é \bigl(-\tfrac\pi2,\,1,\,4\bigr).

Passo 5

Tomando s como parâmetro da reta, a forma ponto-direção em \bigl(0,\tfrac14,1\bigr) fica
x(s)=0-\frac\pi2\,s=-\frac{\pi}{2}s,\quad y(s)=\frac14+1\cdot s=\frac14+s,\quad z(s)=1+4s.

Resposta

\boxed{ \begin{cases} x(s)=-\tfrac{\pi}{2}\,s,\\\ y(s)=\tfrac14+s,\\\ z(s)=1+4s. \end{cases} }

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