Esboce a área representada por g(x). A seguir, encontre g^prime(x).
g(x)=integral0^x(1+raizt) d t

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integral0^xl(1+raiztr),dt
e pede (a) um esboço da região sob a curva f(t)=1+raizt de t=0 até t=x e (b) a derivada g'(x).
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada de uma integral com variável de limite superior é simplesmente o integrando avaliado nesse limite.

Passo 2

Para esboçar a área, note que f(t)=1+raizt é uma curva que em t=0 vale f(0)=1 e cresce de forma desacelerada (concavidade voltada para baixo) à medida que t aumenta. A região pedida é o “sombreado” sob essa curva desde t=0 até t=x, ou seja, todos os pontos (t,y) tais que 0<= t<= x e 0<= y<= 1+raizt.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), a derivada de
g(x)=integral0^xf(t),dt
é
g'(x)=f(x)
Como f(x)=1+raizx, temos
g'(x)=1+raizx

Resposta

g'(x)=1+raizx

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