Determine o trabalho realizado pelo campo gradiente da função
sobre uma partícula que se move sobre o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo gradiente da função
quando uma partícula se move do ponto
até o ponto
ao longo de um segmento de reta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, gradientes e como calcular o trabalho usando integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e tem componentes das derivadas parciais de
. No nosso caso, temos:
Vamos calcular essas derivadas para a função
:
Então, o campo gradiente é:
Passo 3
Agora, para calcular o trabalho realizado pelo campo gradiente ao mover a partícula de
para
, usamos a integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho. No caso de campos gradientes, essa integral fica mais simples graças ao teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, que diz que:
Isso significa que só precisamos calcular o valor da função
nos pontos finais
e
e subtrair.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Ponto
:
Ponto
:
Passo 5
Aplicando a fórmula do trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gradiente é igual a 4 unidades.