Determine o trabalho realizado pelo campo gradiente da função f(x, y, z)=x y z sobre uma partícula que se move sobre o segmento de reta que liga o ponto A(1,2,1) ao ponto B(2,1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo gradiente da função f(x, y, z) = xyz quando uma partícula se move do ponto A(1,2,1) até o ponto B(2,1,3) ao longo de um segmento de reta. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, gradientes e como calcular o trabalho usando integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função f(x, y, z) , denotado por nabla f , é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e tem componentes das derivadas parciais de f . No nosso caso, temos:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular essas derivadas para a função f(x, y, z) = xyz :
partial fpartial x = yz, partial fpartial y = xz, partial fpartial z = xy
Então, o campo gradiente é:
nabla f = (yz, xz, xy)

Passo 3

Agora, para calcular o trabalho realizado pelo campo gradiente ao mover a partícula de A para B , usamos a integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho. No caso de campos gradientes, essa integral fica mais simples graças ao teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, que diz que:
Trabalho = f(B) - f(A)
Isso significa que só precisamos calcular o valor da função f nos pontos finais B e A e subtrair.

Passo 4

Vamos calcular f(A) e f(B) :
Ponto A(1,2,1) :
f(A) = 1 times 2 times 1 = 2
Ponto B(2,1,3) :
f(B) = 2 times 1 times 3 = 6

Passo 5

Aplicando a fórmula do trabalho:
Trabalho = f(B) - f(A) = 6 - 2 = 4

Resposta

O trabalho realizado pelo campo gradiente é igual a 4 unidades.

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