Determine as equações paramétricas e simétricas para a reta:
que passa por (1,-1,1) e é paralela a reta x+2=\frac{y}{2}=z-3.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por (1,-1,1) e é paralela à reta dada em forma simétrica
x+2 \;=\;\frac{y}{2}\;=\;z-3.
O conteúdo aqui é a equação vetorial de reta: precisamos do ponto e de um vetor diretor que, por paralelismo, é o mesmo da reta dada.

Passo 2

Para extrair o vetor diretor da reta dada, note que
x+2 = \frac{y}{2} = z-3 = t
implica
x = t - 2,\quad y = 2t,\quad z = t + 3.
Logo, um vetor diretor é
\mathbf{v} = (1,2,1).

Passo 3

Agora escrevemos a reta procurada em forma paramétrica usando o ponto (1,-1,1) e o vetor \mathbf{v}. Se chamarmos o parâmetro de t, então
x = 1 + 1\,t,\quad y = -1 + 2\,t,\quad z = 1 + 1\,t.

Passo 4

Para obter a forma simétrica, basta eliminar t das equações paramétricas:
t = x - 1,\quad t = \frac{y+1}{2},\quad t = z - 1.
Assim a forma simétrica é
\frac{x-1}{1} \;=\;\frac{y+1}{2}\;=\;\frac{z-1}{1}.

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 + t,\quad y = -1 + 2\,t,\quad z = 1 + t.
Equação simétrica:
\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{1}.

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