Seja T: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2} definida por T(x, y)=(x+6 y, 6 x+y). Encontre a soma dos seus autovalores.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado define um operador linear T\colon \mathbf{R}^{2}\to\mathbf{R}^{2} por
T(x,y) = (x + 6y,\;6x + y)
e pede a soma dos autovalores de T. Para resolver, vamos escrever a matriz de T na base canônica, lembrar que a soma dos autovalores de uma matriz é igual ao traço dela, e então calcular esse traço.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2\}, temos
T(e_1) = T(1,0) = (1,6),\qquad T(e_2) = T(0,1) = (6,1).
Portanto a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 6\\\\ 6 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O traço de A, denotado \mathrm{tr}(A), é a soma dos elementos da diagonal principal:
\mathrm{tr}(A) = 1 + 1 = 2.

Passo 4

Pela propriedade de autovalores de uma matriz de dimensão 2, a soma dos autovalores de A é igual ao traço de A. Logo, a soma dos autovalores de T é
\mathrm{tr}(A) = 2.

Resposta

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