Mostre que ( \mathbb{Z}_{4},+ ) é isomorfo ao grupo \langle i\rangle \subset \mathbb{C}^{*}, onde i=\sqrt{ }-1, com multiplicação complexa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo cíclico de ordem 4
\bigl(\mathbb{Z}_{4},+\bigr)
é isomorfo ao subgrupo de \mathbb{C}^{*} gerado por i=\sqrt{-1}, isto é
\langle i\rangle=\{1,i,-1,-i\} sob multiplicação.
O conteúdo é teoria de grupos cíclicos e isomorfismos: vamos definir um candidato a isomorfismo e checar que ele é bem-definido, homomorfismo bijetivo.

Passo 2

Definimos
\varphi\colon \mathbb{Z}_{4}\longrightarrow \langle i\rangle
por
\varphi\bigl(\overline{n}\bigr)=i^{n},
onde \overline{n} é a classe de n em \mathbb{Z}_{4}.
Como i^{4}=1, se n\equiv m\pmod{4} então i^{n}=i^{m}, logo \varphi está bem-definida.

Passo 3

Mostramos que \varphi preserva a operação: para quaisquer \overline{n},\overline{m}\in\mathbb{Z}_{4},
\varphi\bigl(\overline{n}+\overline{m}\bigr) =\varphi\bigl(\overline{n+m}\bigr) =i^{\,n+m} =i^{n}\cdot i^{m} =\varphi\bigl(\overline{n}\bigr)\,\varphi\bigl(\overline{m}\bigr).
Isso prova que \varphi é homomorfismo de grupos.

Passo 4

Para ver que \varphi é injetora, observamos o núcleo:
\ker\varphi =\{\overline{n}\in\mathbb{Z}_{4}\mid \varphi(\overline{n})=1\} =\{\overline{n}\mid i^{n}=1\} =\{\overline{0}\}.
Como \mathbb{Z}_{4} é finito, injeção implica bijeção sobre \langle i\rangle (ambos têm 4 elementos). Portanto \varphi é bijetora.

Passo 5

Tendo \varphi bem-definida, homomorfismo e bijetora, concluímos que é um isomorfismo entre
\bigl(\mathbb{Z}_{4},+\bigr) e \langle i\rangle\subset\mathbb{C}^{*}.

Resposta

O isomorfismo é dado por
\varphi\colon \mathbb{Z}_{4}\to\langle i\rangle,\quad \varphi\bigl(\overline{n}\bigr)=i^{n},
pois satisfaz \varphi(\overline{n}+\overline{m})=\varphi(\overline{n})\varphi(\overline{m}), é bem-definida e bijetora.

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