Mostre que ( \mathbb{Z}_{4},+ ) é isomorfo ao grupo \langle i\rangle \subset \mathbb{C}^{*}, onde i=\sqrt{ }-1, com multiplicação complexa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo cíclico de ordem 4 \bigl(\mathbb{Z}_{4},+\bigr)
é isomorfo ao subgrupo de \mathbb{C}^{*} gerado por i=\sqrt{-1}, isto é \langle i\rangle=\{1,i,-1,-i\} sob multiplicação.
O conteúdo é teoria de grupos cíclicos e isomorfismos: vamos definir um candidato a isomorfismo e checar que ele é bem-definido, homomorfismo bijetivo.
Como \mathbb{Z}_{4} é finito, injeção implica bijeção sobre \langle i\rangle (ambos têm 4 elementos). Portanto \varphi é bijetora.
Passo 5
Tendo \varphi bem-definida, homomorfismo e bijetora, concluímos que é um isomorfismo entre \bigl(\mathbb{Z}_{4},+\bigr) e \langle i\rangle\subset\mathbb{C}^{*}.