Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,1,0) e tem a direção do vetor \vec{v}=(3,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e simétricas da reta em \mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A(3,1,0) e tem direção dada pelo vetor \vec v=(3,4,-1). Vamos usar a forma vetorial da reta e então extrair as equações solicitadas.

Passo 2

A equação vetorial da reta é
\vec r = \vec A + t\,\vec v,
onde \vec A=(3,1,0) e \vec v=(3,4,-1). Logo,
\vec r = (3,1,0) + t\,(3,4,-1).

Passo 3

Separando as componentes de \vec r=(x,y,z), obtemos as equações paramétricas:
x = 3 + 3\,t,
y = 1 + 4\,t,
z = 0 - 1\,t.

Passo 4

Para escrever a forma simétrica, isolamos t em cada equação:
t = \frac{x-3}{3},\quad t = \frac{y-1}{4},\quad t = \frac{z-0}{-1}.
Igualando essas expressões, a equação simétrica é
\frac{x-3}{3} \;=\;\frac{y-1}{4}\;=\;\frac{z}{-1}.

Resposta

Equações paramétricas: x=3+3t, y=1+4t, z=-t.
Equação simétrica: \displaystyle \frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{-1}.

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