Determine as equações de:
Um plano contendo os pontos A=(0,0,0), B=(1,2,3) e C=(3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que passa pelos pontos A=(0,0,0), B=(1,2,3) e C=(3,2,1). O conteúdo necessário envolve encontrar dois vetores diretores no plano, calcular o vetor normal via produto vetorial e então escrever a forma cartesiana e a forma paramétrica do plano.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores os vetores AB e AC. Como A é a origem, basta usar as coordenadas de B e C:
AB = B - A = (1,2,3), AC = C - A = (3,2,1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado por
n = ABtimesAC = i & j & k 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 = (-4,8,-4)
Dividindo por -4 (para simplificar), obtemos
n = (1,-2,1)

Passo 4

A forma cartesiana do plano usando n=(a,b,c) e o ponto A (origem) é
a,x + b,y + c,z = 0
Substituindo (a,b,c)=(1,-2,1) resulta
x - 2y + z = 0

Passo 5

A forma paramétrica do plano usa o ponto A=(0,0,0) e os vetores diretores AB e AC. Logo, para parâmetros s,tinR:
(x,y,z) = s,(1,2,3) + t,(3,2,1)
Em coordenadas:
x = s + 3t, y = 2s + 2t, z = 3s + t

Resposta

Forma cartesiana:
x - 2y + z = 0
Forma paramétrica:
(x,y,z) = s,(1,2,3) + t,(3,2,1), s,tinR

Exercícios relacionados