Determine as equações de:
Um plano contendo a origem e perpendicular a n=(1,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede as equações de um plano que contém a origem e é perpendicular ao vetor normal n=(1,-1,1).
Conteúdo principal: equação geral de um plano em R^3, forma cartesiana, forma vetorial e forma paramétrica.

Passo 2

Como o plano é perpendicular a n, esse será seu vetor normal. A forma geral cartesiana de um plano de normal (a,b,c) é
a,x + b,y + c,z + d = 0
Como o plano contém a origem (0,0,0), temos d=0. Substituindo (a,b,c)=(1,-1,1) vem
x - y + z = 0

Passo 3

Na forma vetorial, seja vec r=(x,y,z). O plano é dado por
vec rcdot n = 0,
ou seja
(x,y,z)cdot(1,-1,1)=0

Passo 4

Para a forma paramétrica, escolhemos dois vetores diretores v1,v2 ortogonais a n. Por exemplo,
v1=(1,1,0), v2=(1,0,-1),
pois
(1,-1,1)cdot(1,1,0)=0 e (1,-1,1)cdot(1,0,-1)=0. Assim qualquer ponto do plano é
(x,y,z)=s,v1+t,v2, s,tin R,
isto é,
x = s + t, y = s, z = -,t, s,tin R

Resposta

Equações do plano:
Cartesiana: x - y + z = 0
Vetorial: vec rcdot(1,-1,1)=0
Paramétrica:
(x,y,z) = s,(1,1,0) ;+; t,(1,0,-1), s,tin R

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