Determine as equações de:
Um plano contendo os pontos A=(0,0,1), B=(1,2,3) e C=(3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém os pontos A=(0,0,1), B=(1,2,3) e C=(3,2,1).
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar a equação de um plano precisamos de um vetor normal e de um ponto no plano. Vamos obter o vetor normal a partir do produto vetorial de dois vetores diretores do plano, e depois escrever as formas implícita e paramétrica do plano.

Passo 2

Primeiro encontramos dois vetores diretores do plano, por exemplo
AB = B - A = (1,2,3) - (0,0,1) = (1,2,2),
AC = C - A = (3,2,1) - (0,0,1) = (3,2,0)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = AB times AC = i & j & k 1 & 2 & 2 3 & 2 & 0 = (-4,,6,,-4)
Podemos simplificar vec n dividindo por -2 e mudando o sinal, obtendo
vec n = (2,,-3,,2)

Passo 4

A forma implícita do plano é
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
ou seja
2(x-0)-3(y-0)+2(z-1)=0
que se expande para
2x - 3y + 2z - 2 = 0

Passo 5

A forma paramétrica do plano, usando A e os vetores AB,AC, é
vec r = (0,0,1) + s,(1,2,2) + t,(3,2,0), s,tinR,
ou de modo equivalente
x = s + 3t, y = 2s + 2t, z = 1 + 2s

Resposta

Equação implícita:
2x - 3y + 2z - 2 = 0
Equação paramétrica:
vec r = (0,0,1) + s,(1,2,2) + t,(3,2,0), s,tinR

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