Responda
ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se
é matriz inversível, então
é inversível e
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta sobre matrizes invertíveis e sua transposta: queremos mostrar que, se uma matriz
é invertível, então sua transposta
também é invertível e que
O conteúdo principal é a propriedade de que
para quaisquer matrizes
.
Passo 2
Como
é invertível, existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Aplicando a operação transposta à igualdade
, usando
e
, obtemos
Passo 4
De modo análogo, aplicando transposta a
segue
Passo 5
Como
e
, isso mostra que
é a inversa de
. Logo
é invertível e
Resposta
Verdadeiro.