Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é matriz inversível, então A^t é inversível e (A^t)^-1=(A^-1)^t.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre matrizes invertíveis e sua transposta: queremos mostrar que, se uma matriz A é invertível, então sua transposta A^t também é invertível e que
l(A^tr)^-1 ;=;l(A^-1r)^t
O conteúdo principal é a propriedade de que ,(AB)^t=B^tA^t para quaisquer matrizes A,B.

Passo 2

Como A é invertível, existe uma matriz B tal que
AB = Ie BA = I,
onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Aplicando a operação transposta à igualdade AB=I, usando ,(AB)^t=B^tA^t e I^t=I, obtemos
(AB)^t = B^tA^t = I

Passo 4

De modo análogo, aplicando transposta a BA=I segue
(BA)^t = A^tB^t = I

Passo 5

Como B^tA^t=I e A^tB^t=I, isso mostra que B^t é a inversa de A^t. Logo A^t é invertível e
l(A^tr)^-1 = B^t = l(A^-1r)^t

Resposta

Verdadeiro.

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