Determine as equações
Reta passando por P_{0}=(1,-4,2,-3) gerada por \vec{v}= ( 4,-1,3,2 )

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações da reta que passa por P_{0}=(1,-4,2,-3) e é gerada pelo vetor \vec{v}=(4,-1,3,2).
Informações dadas:
  • Ponto por onde a reta passa: P_{0}=(1,-4,2,-3).
  • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(4,-1,3,2).
O que se quer: escrever as equações da reta (formas usuais: equação vetorial, equações paramétricas e, se for possível, a forma simétrica/cartesiana) que descrevem todos os pontos da reta.

Passo 2

Conceito usado (explicado de forma simples).
  • Uma reta em \mathbb{R}^{4} que passa por um ponto P_{0} e tem vetor diretor \vec{v} pode ser descrita por uma equação vetorial do tipo
\vec{r}(t)=\vec{P_{0}}+t\,\vec{v},
onde t é um parâmetro real. Aqui:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta (depende de t);
  • \vec{P_{0}} é o vetor posição do ponto dado (aqui \vec{P_{0}}=(1,-4,2,-3));
  • \vec{v} é o vetor diretor (aqui \vec{v}=(4,-1,3,2));
  • t\in\mathbb{R} percorre a reta: cada valor diferente de t dá um ponto diferente na reta.
Explicação rápida do porquê: partir de P_{0} e andar uma quantidade t ao longo da direção \vec{v} gera todos os pontos da reta.

Passo 3

Escrevendo a equação vetorial com os dados do problema.
\vec{r}(t)=(1,-4,2,-3)+t\,(4,-1,3,2).
Isso significa que as coordenadas de um ponto genérico \vec{r}(t)=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) satisfazem componente a componente:
x_{1}=1+4t,
x_{2}=-4-1\cdot t=-4-t,
x_{3}=2+3t,
x_{4}=-3+2t.
Comentário didático: cada uma dessas quatro igualdades é uma equação paramétrica da reta. Na prova, basta escrever a equação vetorial e/ou essas quatro equações paramétricas para descrever a reta.

Passo 4

Obter a forma simétrica (quando possível) — instrução e cuidado.
  • A forma simétrica é obtida isolando t em cada equação paramétrica e igualando as expressões de t.
  • Para cada componente onde o coeficiente de t em \vec{v} não é zero, pode-se escrever \dfrac{x_{i}-x_{i0}}{v_{i}}=t.
  • Se um componente de \vec{v} fosse zero, não se poderia dividir por ele; então haveria que escrever uma condição do tipo x_{i}=x_{i0}. Neste caso particular todos os componentes de \vec{v} são diferentes de zero, então a forma simétrica é aplicável.
Isolando t em cada equação temos:
t=\frac{x_{1}-1}{4},
t=\frac{x_{2}+4}{-1},
t=\frac{x_{3}-2}{3},
t=\frac{x_{4}+3}{2}.
Igualando todas:
\frac{x_{1}-1}{4}=\frac{x_{2}+4}{-1}=\frac{x_{3}-2}{3}=\frac{x_{4}+3}{2}.
Explicação do que significam as variáveis: (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) representa um ponto genérico da reta. A igualdade acima diz que existe um mesmo t que torna verdade todas as quatro expressões — esse é o t do passo anterior.

Passo 5

Como usar essas equações na prática (checagem de pertencimento e obtenção de pontos).
  • Para obter um ponto específico da reta, escolher um t e substituir nas paramétricas. Exemplo: para t=1,
x_{1}=1+4\cdot 1=5,
x_{2}=-4-1=-5,
x_{3}=2+3\cdot 1=5,
x_{4}=-3+2\cdot 1=-1.
Logo (5,-5,5,-1) pertence à reta.
  • Para checar se um ponto Q=(q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}) pertence à reta, calcular as quatro frações
\frac{q_{1}-1}{4},\quad \frac{q_{2}+4}{-1},\quad \frac{q_{3}-2}{3},\quad \frac{q_{4}+3}{2}
e verificar se todas são iguais a um mesmo número real t. Se sim, Q está na reta; se não, não está.

Passo 6

Resumo das formas equivalentes (boas respostas para a prova).
  • Equação vetorial (forma compacta):
\vec{r}(t)=(1,-4,2,-3)+t\,(4,-1,3,2),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Equações paramétricas (componentes):
x_{1}=1+4t,\qquad x_{2}=-4-t,\qquad x_{3}=2+3t,\qquad x_{4}=-3+2t,\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Forma simétrica:
\frac{x_{1}-1}{4}=\frac{x_{2}+4}{-1}=\frac{x_{3}-2}{3}=\frac{x_{4}+3}{2}.

Resposta

\vec{r}(t)=(1,-4,2,-3)+t\,(4,-1,3,2),\\ t\in\mathbb{R}
x_{1}=1+4t,\quad x_{2}=-4-t,\quad x_{3}=2+3t,\quad x_{4}=-3+2t,\quad t\in\mathbb{R}
\frac{x_{1}-1}{4}=\frac{x_{2}+4}{-1}=\frac{x_{3}-2}{3}=\frac{x_{4}+3}{2}

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