Determine as equações
Reta passando por
gerada por
(
)
Reta passando por
Passo 1
O enunciado pede para determinar as equações da reta que passa por
e é gerada pelo vetor
.
Informações dadas:
- Ponto por onde a reta passa:
. - Vetor diretor da reta:
.
O que se quer: escrever as equações da reta (formas usuais: equação vetorial, equações paramétricas e, se for possível, a forma simétrica/cartesiana) que descrevem todos os pontos da reta.
Passo 2
Conceito usado (explicado de forma simples).
- Uma reta em
que passa por um ponto e tem vetor diretor pode ser descrita por uma equação vetorial do tipo
onde
é um parâmetro real. Aqui:
-
é o vetor posição de um ponto genérico da reta (depende de ); -
é o vetor posição do ponto dado (aqui ); -
é o vetor diretor (aqui ); -
percorre a reta: cada valor diferente de dá um ponto diferente na reta.
Explicação rápida do porquê: partir de
e andar uma quantidade
ao longo da direção
gera todos os pontos da reta.
Passo 3
Escrevendo a equação vetorial com os dados do problema.
Isso significa que as coordenadas de um ponto genérico
satisfazem componente a componente:
Comentário didático: cada uma dessas quatro igualdades é uma equação paramétrica da reta. Na prova, basta escrever a equação vetorial e/ou essas quatro equações paramétricas para descrever a reta.
Passo 4
Obter a forma simétrica (quando possível) — instrução e cuidado.
- A forma simétrica é obtida isolando
em cada equação paramétrica e igualando as expressões de . - Para cada componente onde o coeficiente de
em não é zero, pode-se escrever . - Se um componente de
fosse zero, não se poderia dividir por ele; então haveria que escrever uma condição do tipo . Neste caso particular todos os componentes de são diferentes de zero, então a forma simétrica é aplicável.
Isolando
em cada equação temos:
Igualando todas:
Explicação do que significam as variáveis:
representa um ponto genérico da reta. A igualdade acima diz que existe um mesmo
que torna verdade todas as quatro expressões — esse é o
do passo anterior.
Passo 5
Como usar essas equações na prática (checagem de pertencimento e obtenção de pontos).
- Para obter um ponto específico da reta, escolher um
e substituir nas paramétricas. Exemplo: para ,
Logo
pertence à reta.
- Para checar se um ponto
pertence à reta, calcular as quatro frações
e verificar se todas são iguais a um mesmo número real
. Se sim,
está na reta; se não, não está.
Passo 6
Resumo das formas equivalentes (boas respostas para a prova).
- Equação vetorial (forma compacta):
- Equações paramétricas (componentes):
- Forma simétrica: