Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(b)
em
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso está na área de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está realmente no gráfico da função. Para isso, substituímos
e
na função:
Então,
, o que confirma que o ponto
pertence ao gráfico da função.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções das coordenadas
e
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Esses valores nos dão as inclinações nas direções
e
no ponto considerado.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula da equação do plano tangente:
Onde
é o ponto de tangência, neste caso
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Simplificando a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é
.