Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
(b) f(x, y) = x^2 + y^2 em (1, 1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Isso está na área de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente no gráfico da função. Para isso, substituímos e na função:
Então, , o que confirma que o ponto pertence ao gráfico da função.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções das coordenadas e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Esses valores nos dão as inclinações nas direções e no ponto considerado.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula da equação do plano tangente:
Onde é o ponto de tangência, neste caso .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Simplificando a equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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