Para que valores do número
a função
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de
a função
é contínua em
. Vamos utilizar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos que uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, exceto possivelmente em pontos onde a definição da função muda. No nosso caso, a função muda de definição apenas no ponto
. Então, precisamos verificar a continuidade nesse ponto específico.
Passo 3
Para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
. Ou seja:
Passo 4
Vamos analisar esse limite. Podemos usar coordenadas esféricas para simplificar. Seja
, que representa a distância até a origem. Assim, podemos reescrever o limite como:
onde
é uma constante que depende da direção, mas como estamos interessados no comportamento quando
,
é apenas uma constante multiplicativa.
Passo 5
Para que o limite seja zero, precisamos que
tender a zero quando
tende a zero. Isso acontece se o expoente
for positivo, ou seja:
Resposta
A função
é contínua em
para todos os valores de
maiores que 2, ou seja, quando
.