Para que valores do número r a função
f(x, y, z)=rrr (x+y+z)^rx^2+y^2+z^2, & se & (x, y, z) neq(0,0,0) 0, & se & (x, y, z)=(0,0,0)
é contínua em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de f(x, y, z) = (x + y + z)^rx^2 + y^2 + z^2, & se (x, y, z) neq (0, 0, 0) 0, & se (x, y, z) = (0, 0, 0) a função
é contínua em . Vamos utilizar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma função é contínua em todos os pontos do seu domínio, exceto possivelmente em pontos onde a definição da função muda. No nosso caso, a função muda de definição apenas no ponto . Então, precisamos verificar a continuidade nesse ponto específico.

Passo 3

Para a função ser contínua em lim(x, y, z) to (0, 0, 0) (x + y + z)^rx^2 + y^2 + z^2 = 0 , o limite de quando se aproxima de deve ser igual a . Ou seja:

Passo 4

Vamos analisar esse limite. Podemos usar coordenadas esféricas para simplificar. Seja limrho to 0 (rho cdot k)^rrho^2 = limrho to 0 rho^r cdot k^rrho^2 = limrho to 0 k^r cdot rho^r - 2 , que representa a distância até a origem. Assim, podemos reescrever o limite como:
onde é uma constante que depende da direção, mas como estamos interessados no comportamento quando , é apenas uma constante multiplicativa.

Passo 5

Para que o limite seja zero, precisamos que r - 2 > 0 implies r > 2 tender a zero quando tende a zero. Isso acontece se o expoente for positivo, ou seja:

Resposta

A função é contínua em para todos os valores de maiores que 2, ou seja, quando .

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