Seja f: R^2 R uma função tal que partial fpartial x(x, y)=0 para todo (x, y) in R^2. Mostre que f não depende de x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função cuja derivada parcial em relação a , ou seja, , é igual a zero para todo ponto no plano. O conteúdo envolvido aqui está no cálculo diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de derivada parcial e entender o que significa uma derivada ser zero.

Passo 2

A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função varia quando apenas essa variável muda. Se para todo , isso significa que, ao variar , mantendo constante, a função não muda. Portanto, não depende de .

Resposta

A função não depende de , ou seja, .

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