Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas, especialmente do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando
cresce grande, ou seja, quando
tende ao infinito. Nesse caso,
tende a zero. Então, queremos entender o que acontece com
quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
. Isso é uma propriedade importante das funções trigonométricas perto de zero. Então, quando
é muito grande,
fica aproximadamente igual a
.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão da sequência, temos:
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Claramente,
cresce sem limites conforme
aumenta, ou seja, tende ao infinito.
Passo 5
Como a sequência
se aproxima de
e
vai para o infinito quando
cresce, podemos concluir que a sequência
diverge.
Resposta
A sequência
diverge para o infinito.