Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite: a_n = n / sen(1 / n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas, especialmente do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando cresce grande, ou seja, quando tende ao infinito. Nesse caso, tende a zero. Então, queremos entender o que acontece com quando se aproxima de zero.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por . Isso é uma propriedade importante das funções trigonométricas perto de zero. Então, quando é muito grande, fica aproximadamente igual a .

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão da sequência, temos:
Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Claramente, cresce sem limites conforme aumenta, ou seja, tende ao infinito.

Passo 5

Como a sequência se aproxima de e vai para o infinito quando cresce, podemos concluir que a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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