Mostre que a sequência definida por a1 = 1, an+1 = 3 - 1/an é crescente e a_n < 3 para todo n. Deduza que a_n é convergente e encontre o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é calculado por . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é crescente, que todos os seus termos são menores que 3, e então concluir que ela converge para um certo limite, que vamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, .

Passo 3

Vamos assumir que isso é verdade para algum termo . Então, temos:
Queremos provar que , ou seja:
Rearranjando a inequação:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo, já que e vamos mostrar que todos os termos são menores que 3):
Isso nos leva a:
Resolvendo a inequação quadrática , encontramos que ela é verdadeira para valores de entre e . Como e estamos assumindo que , a inequação é satisfeita, o que prova que a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que todos os termos são menores que 3. Sabemos que . Vamos assumir que e verificar se :
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Como , isso é sempre verdadeiro. Portanto, .

Passo 5

Como mostramos que a sequência é crescente e que está limitada superiormente por 3, podemos concluir, pela propriedade das sequências monótonas, que ela é convergente.

Passo 6

Vamos encontrar o limite da sequência. Se a sequência converge para , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Como todos os termos da sequência são menores que 3 e positivos, descartamos a solução negativa. Portanto:

Resposta

A sequência é crescente, todos os termos são menores que 3, e o seu limite é .

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