Mostre que a sequência definida por
é crescente e
para todo
. Deduza que
é convergente e encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é calculado por
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é crescente, que todos os seus termos são menores que 3, e então concluir que ela converge para um certo limite, que vamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
.
Passo 3
Vamos assumir que isso é verdade para algum termo
. Então, temos:
Queremos provar que
, ou seja:
Rearranjando a inequação:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo, já que
e vamos mostrar que todos os termos são menores que 3):
Isso nos leva a:
Resolvendo a inequação quadrática
, encontramos que ela é verdadeira para valores de
entre
e
. Como
e estamos assumindo que
, a inequação é satisfeita, o que prova que a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que todos os termos
são menores que 3. Sabemos que
. Vamos assumir que
e verificar se
:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Como
, isso é sempre verdadeiro. Portanto,
.
Passo 5
Como mostramos que a sequência é crescente e que está limitada superiormente por 3, podemos concluir, pela propriedade das sequências monótonas, que ela é convergente.
Passo 6
Vamos encontrar o limite
da sequência. Se a sequência converge para
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Como todos os termos da sequência são menores que 3 e positivos, descartamos a solução negativa. Portanto:
Resposta
A sequência é crescente, todos os termos são menores que 3, e o seu limite é
.