Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=3 \ln x y+5 \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=3\ln(xy)+5\sin(x)
é diferenciável na origem (0,0).
Estamos em análise de funções de duas variáveis e, para haver diferenciabilidade num ponto, a função antes de tudo precisa estar definida nesse ponto.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
A parte 3\ln(xy) exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo:
xy>0.
5\sin(x) está bem definido para todo x.
Logo o domínio de f é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy>0\},
que não contém o ponto (0,0).

Passo 3

Concluir sobre a diferenciabilidade na origem.
Como (0,0)\notin D, a função f não está nem definida em (0,0).
Sem definição em (0,0) não faz sentido falar em derivadas parciais nem no diferencial total ali. Portanto f não é diferenciável na origem.

Resposta

A função não é diferenciável na origem, pois não está definida em (0,0).

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