Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável na origem
.
Estamos em análise de funções de duas variáveis e, para haver diferenciabilidade num ponto, a função antes de tudo precisa estar definida nesse ponto.
Estamos em análise de funções de duas variáveis e, para haver diferenciabilidade num ponto, a função antes de tudo precisa estar definida nesse ponto.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
A parte exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo:
A parte
Já
está bem definido para todo
.
Logo o domínio de é
Logo o domínio de
que não contém o ponto
.
Passo 3
Concluir sobre a diferenciabilidade na origem.
Como , a função
não está nem definida em
.
Sem definição em não faz sentido falar em derivadas parciais nem no diferencial total ali. Portanto
não é diferenciável na origem.
Como
Sem definição em
Resposta
A função não é diferenciável na origem, pois não está definida em
.