Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável na origem. Para isso precisamos que (i)
esteja definida em
e (ii) seja contínua lá (pois diferenciabilidade implica continuidade). Como o denominador
em
é zero, primeiro notamos que
não está definida na origem; mesmo que tentássemos atribuir um valor em
, ainda precisaríamos checar a continuidade pelo limite de
.
Passo 2
Investigamos o limite de
quando
. Escolhemos aproximar pela reta
com
. Substituindo:
Ao fazermos
, obtemos
que depende de
.
Passo 3
Como o valor do limite de
ao longo de retas
varia com
, concluímos que
não existe. Logo,
não é contínua na origem.
Passo 4
Para ser diferenciável em
,
precisaria, no mínimo, ser contínua lá. Visto que já falha em ser contínua — e além disso nem está definida em
— não pode ser diferenciável na origem.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem.