Verifique se as funções dadas são diferenciáveis na origem.
f(x, y)=\frac{3 x-4 y}{x^{2}+8 y}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\frac{3x-4y}{x^{2}+8y}
é diferenciável na origem. Para isso precisamos que (i) f esteja definida em (0,0) e (ii) seja contínua lá (pois diferenciabilidade implica continuidade). Como o denominador x^{2}+8y em (0,0) é zero, primeiro notamos que f não está definida na origem; mesmo que tentássemos atribuir um valor em (0,0), ainda precisaríamos checar a continuidade pelo limite de (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Investigamos o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Escolhemos aproximar pela reta y=mx com m\neq0. Substituindo:
f(x,mx) =\frac{3x-4(mx)}{x^{2}+8(mx)} =\frac{x(3-4m)}{x\bigl(x+8m\bigr)} =\frac{3-4m}{x+8m}.
Ao fazermos x\to0, obtemos
\lim_{x\to0}f(x,mx) =\frac{3-4m}{8m},
que depende de m.

Passo 3

Como o valor do limite de f(x,y) ao longo de retas y=mx varia com m, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe. Logo, f não é contínua na origem.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0), f precisaria, no mínimo, ser contínua lá. Visto que já falha em ser contínua — e além disso nem está definida em (0,0) — não pode ser diferenciável na origem.

Resposta

A função f não é diferenciável na origem.

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